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          110分)設 是互不相同的整數,求證多項式

          在整系數多項式環中不可約。

          210 分) , 有重根的條件。

          3 10分)記

          的根。

          410分)(1)設 ,  。 ;

                      2)求 ,其中 。

          515分)設 階方陣 的伴隨矩陣。證明:當 時, ; 時, ; 時, 。

          610分)設 階方陣, 為正整數,線性方程組 有解向量 。證明:向量組 線性無關.

          7(10)求下面向量組的秩和一個極大線性無關組,并將其余向量用該極大線性無關組表示:

          。

          810分)若下面線性方程組有解,常數應滿足什么條件?

          915分)已知矩陣 

          有特征值 ,矩陣 。其中 為實數, 為單位陣。

          (1)    ,并說明 是否可以對角化;

          (2)    矩陣 是否可以對角化,若能,求對角矩陣 ,使 .

          10(15)已知 均為三階非零矩陣,且

          (1)    證明 的特征值只能是01;并且01必是 的特征值;

          (2)    關于 的特征向量,則 必是矩陣 關于 的特征向量。

          1115分)設

          (1)    用正交變換化此二次型為標準型,并寫出所有的正交變換;

          (2)    是否有可逆矩陣 ,使得 。其中 是原二次型的矩陣。若有,求出它;若無,說明理由。

          12  (20) 為有理數域上的三維向量空間, 的線性變換。若對 ,有 ,證明 線性無關。

           

          數學分析

          一、(20)設 上連續并且單調遞減,證明函數

          上單調遞減。

          二、(20)設 , ,證明極限 存在并求之。

          三、(20)設 個正實數,求 。

          四、(10)區間上的連續函數如果在任何有理點上為零,證明此函數恒為零。

          五、(20)證明   。

          六、(20)研究函數  的連續性及可微性。

          七、(20)求正向簡單閉曲線 使積分  最大,并求出最大值。

          八、(每小題10分,共20

          為平面上一個有界閉集,連續函數 一對一映為平面上點集 ,證明

          (1)    也是有界閉集

          (2)    的逆映射也是連續函數。

           

           

           

          ------------------鄭州大學2009年高等代數考研真題試卷

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